July 15, 1996
![Lorsque K est quadratique, le type combinatoire de l'ordre Df de conducteur f est le quotient de la frontière de l'enveloppe convexe des points de Df situés dans le cône positif de K, avec des points marqués : les sommets géométriques qui sont les sommets de l'enveloppe convexe, et les sommets plats qui sont les points de Df situés dans les faces de l'enveloppe convexe. Il se représente comme un graphe Γf = [b1,...,bg], où g est le nombre de sommets géométriques et les bi-1 le nombre de sommets plats entre deux sommets géométriques consécutifs, comme l'illustre les quelques exemples données dans la figure ci-dessous. Nous étudions dans cet article, le cas le plus simple : celui pour lequel il n'y a qu'une classe de sommets géométriques (les unités positives). Lorsque l'anneau des entiers vérifie cette propriété, nous disons que le corps est plat, et nous en donnons une caractérisation simple. Pour chaque classe de congruence de d modulo 4 il n'y a que certaines classes permises de b modulo 4. Nous montrons, par des méthodes analytiques, que pour chacune de ces valeurs permises il y a une infinité de corps du type Γ(d) = [b] et nous calculons les densités relatives de ces corps suivant la valeur de b. Nous avons été conduit à modifier légèrement la définition originale des densités de Dirichlet à cause du trop petit nombre de corps plats dans l'ensemble de tous les corps quadratiques. En définitive nous trouvons que la densité des corps plats de type Γ(d) = [b] est proportionnelle, à une constante universelle près, à la fonction arithmétique suivante:

Figure : Quelques graphes de corps quadratiques. Les points marqués d'un cercle sont les sommets géométriques, ceux marqués d'un carré : les sommets plats.

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