Sur les géodésiques qui coupent un convexe
September 15, 1992
 
Cet article généralise aux géodésiques des variétés de Hadamard la célèbre formule de Crofton, qui relie la mesure des droites qui coupent un convexe de l'espace euclidien, au volume de son bord. Une variété de Hadamard X est une boule ouverte à courbure négative ou nulle, géodésiquement complète. Un domaine compact B est convexe si toute géodésique qui le coupe ne coupe son bord A qu’en un ou deux points. Dans cet article on montre d’abord que l’espace des géodésiques (orientées) G possède une structure de variété différentiable (unique) difféomorphe à TSn-1 telle que la projection du fibré unitaire tangent UX sur G soit une submersion. De plus, par la nature des géodésiques, qui sont des solutions d’un système différentiel variationel du second ordre, cet espace des géodésiques possède une structure symplectique canonique, invariante par le groupe des isométries de la métrique. Cette structure symplectique définit un volume volG. D’autre part, la métrique définit un volume vol sur la variété elle-même. Ainsi, si B est l’image lisse strictement convexe d’une boule fermées si A denote son bord A, si G(A) denote l’ensemble des géodésiques qui coupe A, si volA denote la restriction du volume vol au bord A de B, le théorème de Crofton généralisée s’exprime par la formule suivante  où cn ne dépent que de la dimension de l’espace et des normalisations choisies. Le difféoméorphisme entre l’espace des géodésiques de X et le tangent TSn-1 est réalisé de la façon suivante:  Une géodésique dans un espace de Hadamard pour toute géodésique dirigée par un vecteur unitaire u, il existe un point et un seul le plus proche d’une origine choisie o. le couple (x,u) caractérise complètement la géodésique et donne l’identification recherchée.  Publié dans Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, série 6, vol. I, n° 1, 1992.