Les mouvements du solide
January 27, 2000
 
L'étude des mouvements d'un solide dans l'espace euclidien ordinaire est le terrain priviégié de la théorie symplectique des systèmes complètement intégrables1. Mais on ne trouve pas toujours les développements qui aboutissent aux équations du mouvement des solides dans les ouvrages classiques, cette petite note essaye de combler cette lacune. Un solide est défini comme un ensemble de points dont les distances mutuelles restent fixes. Les mouvements d'un tel système sont définis de façon ordinaire comme les solutions du problème variationnel, associé à cet ensemble de points, dans le cadre formel introduit par Lagrange. Mais la condition de solidité s'interprète grâce à l'action du groupe des déplacements euclidiens : les mouvement du solide, autour de son centre de gravité, sont tracés sur les orbites du tangent à SO(3) agissant dans l'espace des conditions initiales des points constituant le solide. Il n'est pas étonnant ensuite de constater que, ramenés aux mouvements d'un point sur SO(3), les mouvements du solide sont les géodésiques d'une certaine métrique sur SO(3) intégrant, dans ses données, la structure du solide à travers la matrice d'inertie du solide.  Cet article n’a pas été soumis pour publication, il a été écrit pour combler une lacune pédagogique. 1 A lire : Michèle Audin. Spinning Tops, volume 51, Cambridge University Press, 1996.