La trilogie du moment
June 15, 1995
 
Ce papier montre comment toute deux forme fermée sur une variété peut être intégrée sur un fibré principal au dessus, ayant comme groupe structural le tore des périodes de la deux forme. Cette contruction universelle généralise la construction ordinaire du cas entier, appelé pré-quantification. Elle nécessite l’usage d’objets difféologiques.
Etant donnée une variété X munie d'une 2-forme fermée w, il existe au dessus de X un fibré principal Y en tore des périodes: Tw = R/Pw où Pw est le groupe des périodes, c'est à dire le sous groupe additif de R des intégrales de w sur tous les 2-cycles de X : Pw = { ∫c w | c ∈ H2(X,Z) }. Ce fibré est munie d'une connexion A de courbure w. Cette construction généralise la construction connue lorsque le tore des périodes est isomorphe au cercle. Elle permet de comprendre en une seule construction les relations entre les divers cocycles reliés au moment de l'action du groupe (ou d'un sous-groupe) des difféomorphismes qui préservent w. Bien sûr, les seuls cas où le tore des périodes est une variété est lorsque Pw est nul, alors Tw = R, ou bien lorsque Pw = aZ alors Tw est le cercle de longueur a. Dans tous les autres cas, le cas général donc, le tore des périodes est muni de sa structure différentiable quotient (ou difféologie quotient). Bien que la topologie du groupe des périodes soit grossière, sa structure différentiable ne l'est pas (voir ici). L'utilisation de cette structure est inévitable, et c'est même la clé. En effet, cette construction permet ensuite d'intégrer le cocycle du défaut d'équivariance du moment du groupe des transformations hamiltoniennes Ham(x,w), par son extension centrale par Tw réalisé comme le groupe des automorphismes du fibré principal p : Y → X. 1 → Tw → Aut(Y,A) → Ham(X,w) → 1  Publié dans Les Annales de l’Institut Fourier, 45, 3, 1995, pp. 825-8577F90AAB8-AA9C-418C-8E1C-141151D0F67B.htmlshapeimage_3_link_0