Principes variationnels et géométrie symplectique
March 3, 2003
 
Cet article est une mise au point ou un éclaircissement sur la construction de la strucure symplectique de l’espace des solutions d’un système variationel du second ordre. L’originalité de cette approche, que l’on peut trouver dans [Sou], est le passage par l’homogénéisation du lagrangien, l’abandon des équations d’Euler-Lagrange et de la transformée de Legendre au profit d’un modèle purement géométrique, qui conduit immédiatement aux caractéristiques d’une structure présymplectique, et donc directement à la structure symplectique de l’espace des solutions du problème. Dans cet article je précise cette construction en faisant aparaître le “shérisé du tangent” sur lequel est défini la forme pré-symplectique associé au problème variationel. Je donne aussi un aperçu de la différence, et éventuellement de l’équivalence, entre l’approche hamiltonienne et cette approche lagrangienne.  [Sou] J.-M. Souriau. Structure des systèmes dynamiques. Dunod, Paris, 1970.