September 15, 1984
![Note : J’ai fini ce travail en 1984. J’étais à Moscou et il devaient être publié dans Les Izvestia Akademii Naouk. Mais ayant quitté l'URSS avant que la traduction ne fut finie, je n'ai pas pu controler sa publication. Après plusieurs année d'attente, et sans nouvelles de la part de ce journal, je me suis décidé à le publier en france. Il a été enfin publié, après avoir été réécrit avec l’aide de François Laudenbach, au Bulletin de la SMF, en 1990, 6 ans après ! Mais les résultat contenu dans ce papier ont été cité bien avant leur publication par Michèle Audin dans son livre sur les actions hamiltoniennes de groupes de Lie. (Obtenir le preprint...)
Historique du problème et relation avec la physique :
Cette question avait été posée en 1982, lors d'une réunion de notre groupe de travail, l’équipe Souriau, au Centre de Physique Théorique de Marseille. Nous discutions du modèle quantique du deutéron, c'est-à-dire un proton et un neutron. Si on oubli l'intéraction électromagnétique, il reste à décrire l'interaction entre deux spins. Mais qu'est-ce que deux spins ?
Si l'on sait que la représentation classique du spin est une sphère S2, munie de structure symplectique ordinaire, on sera tenté de décrire les deux spins du deutéron par le produit S2x S2, sur lequel sera défini un hamiltonien décrivant l'intéraction. Cet hamiltonien devra être invariant sous l'action de SO(3), les rotations de l'espace, puisque le système est considéré comme isolé. Or, si l'on considère le deutéron comme un seul objet et non la juxtaposition de deux particules à spin, rien n’indique a priori que sa structure interne est le simple produit de deux sphères. Mais nous savons que :
L’espace représentant la structure interne du système est une variété X de dimension 4,
La variété X est symplectique.
Le groupe SO(3) agit sur X en respectant la structure symplectique.
D'où la nécessité de classer toutes les variétés symplectiques de dimension 4 munies d'une action symplectique de SO(3).
A cette époque on ne connaissait, des actions symplectiques de groupe de Lie, que le théorème de classification des variétés symplectiques homogènes:
Théorème [Krillov, Kostant, Souriau] Toute variété symplectique X, homogène sous l'action symplectique d'un groupe de Lie G, est symplectomorphe (à un revêtement près) à une orbite coadjointe de G.
Or, la question débordait de ce cadre, en effet le groupe SO(3) est de dimension 3 et ne peut donc agir transitivement sur une variété de dimension 4. Voici quelques un des résultats de cette classification.
Cas dim(X) quelconque et orbite principale de dimension 2 :
Théorème : Toute SO(3)-variété symplectique d’orbite principale de dimension 2 est symplectomorphe au produit symplectique de la sphère S2 par une variété symplectique quelconque.
Cas dim(X) = 4 et orbite principale de dimension 3 :
Dans ce cas, un phénomène particulier se produit. Sachant que toutes les actions symplectiques de S0(3) sont hamiltoniennes, on a le lemme suivant.
Lemme Soit X une variété de dimension 4, munie d'une action différentiable de SO(3). Soit w et w' deux formes symplectiques invariantes par cette action, Si leurs moments L et L' sont égaux, alors les formes symplectiques sont égales.
Autrement dit, le moment caractérise complètement la forme symplectique. Au lieu de travailler sur les 2-formes fermées, on est conduit à travailler sur les fonction à valeurs dans R3, équivariantes sous l'action de SO(3), c’est-à-dire l'espace des applications différentiables L de X dans R3 vérfiant, pour tout g dans SO(3) et tout x dans X, l’identité suivante.
L(g(x))=g.L(x),
Il ne reste donc qu'à déterminer les conditions pour lesquelles la fonction équivariante L est le moment d'une forme symplectique, c’est-à-dire fermée et non dégénére. Cette condition s'exprime en fait sur le carré de L:
Si H est le carré de L, H est invarariante sous l'action de SO(3). Elle définit par projection une fonction h de l'espace des orbites X/SO(3) à valeurs dans
R3/SO(3) = [0,∞[. La fonction h est appelé le petit hamiltonien canonique.

D'autre part, l'espace des orbites est une variété de dimension 1, à bord ou sans bord. La condition s'exprime alors sous la forme du lemme suivant:
Lemme : Pour qu'une fonction équivariante L, définie sur X à valeurs dans R3, soit le moment d'une forme symplectique, il faut et il suffit que son petit hamiltonien canonique h soit sans point critique. Autrement dit, que h soit une fonction propre (difféomorphisme sur son image).
Remarque : On peut voir que ce lemme interdit immédiatement d'avoir S1 comme espace d'orbites, puisque toute fonction a un point critique. Il ne reste comme espace d'orbites possibles que les cas suivants:

Ensuite, grâce aux théorèmes de classification des variétés G-invariantes au voisinage des orbites singulières, on sait comment sont faites toutes les SO(3)-variétés de dimension 4 ayant un type d'espace d'orbites donné. Il suffit de tester cas par cas.
On obtient en particulier pour le cas compact, correspondant à X/SO(3) = [-1,1], le théorème suivant.
Théorème : Les seules SO(3)-variétés sympelctiques compactes de dimension 4 sont S2xS2, munie d'une infinité d'actions non équivalentes de SO(3), et P(2,C) munie de l'action de SO(3) héritée de l’action de SU(3). Les formes symplectiques invariantes sont classées, à isomorphisme près, par leur classe de cohomologie.
Le cas non compact est un peu plus large, voir l’article pour leur liste.

Published in Bulletin de la SMF, tome 119, N° 3, pages 371-396, 1991.
Original paper : Preprint of the “Centre de Physique Théorique”, CPT-84/PE.1673 Marseille, 1984. Get the pdf...](93F6FAF1-BC5A-4C9B-A4F0-5054273340D9_files/shapeimage_3.png)
![[ Preprint 1984 ]](93F6FAF1-BC5A-4C9B-A4F0-5054273340D9_files/shapeimage_4.png)
