Les planètes C'est en appliquant la méthode de la variation des constantes, qu’il avait inventé par ailleurs, au problème du mouvement perturbé des planètes que Lagrange introduisit, entre 1808 et 1811, les premiers éléments de calcul symplectique (terme qui ne sera inventé qu'en 1946 par Hermann Weyl). Le but qu'il poursuit à l'époque est la Les origines de la géométrie symplectique chez Lagrange
(suite) Depuis Kepler on sait résoudre explicitement le problème à deux corps. c'est-à-dire, calculer avec une précision aussi grande que l'on veut la position de la terre (ou de toute autre planète) connaissant sa position et sa vitesse à un instant donné, à condition toutefois de considérer seulement l'attraction du soleil et de négliger complètement l'influence des autres planètes. Mais bien que ce savoir soit important, il est largement insuffisant pour ce qui est du mouvement réel des planètes. L'influence des autres planètes sur la terre est-elle vraiment négligeable, ne va-t-elle pas à terme destabiliser notre trajectoire et nous expulser aux confins de l'espace?
Il faut donc traiter le problème dans sa globalité: calculer la position d'une planète quelconque, connaissant les positions et vitesses de toutes les planètes, et ne négligeant l'influence d'aucune d'entre elles. La difficulté de cette question donne le vertige, et on ne sait y répondre, encore actuellement, ni analytiquement ni même numériquement. 
Notes debas de page
(1) A cette époque on disait constantes d'intégration quand nous parlons aujourd'hui d'espace de solutions. Par exemple, l'équation différentielle ordinaire réelle dx/dt=x a toutes ses solutions de la forme x(t)=c.exp(t), où c est une constante arbitraire la fameuse constante d'intégration. Or c caracactérise justement cette solution...
(2) Si Kepler a découvert le mouvement elliptique des planètes, c'est Newton qui l'a déduite de la loi de la gravitation universelle qui porte son nom. Pour une discussion plus approfondie sur ce sujet voir la thèse de F. de Gandt [New].
(3) Les caractéristiques géométriques de cette ellipse étant, par ailleurs, liées aux position et vitesse initiales du corps.
(4) Il est possible maintenant de tracer l'ellipse par la méthode du jardinier.
(5) On dit que c'est une variété.
(6) Aujourd'hui cette équation porte le nom d' équation de Hamilton, mais pour la petite histoire sachez que Sir W.R. Hamilton avait juste six ans lorsque Lagrange la publia pour la première fois. Approximer le mouvement des planètes On pourrait croire, en effet, qu'avec l'avènement de l'ordinateur cette question soit devenue académique: pourquoi ne pas intégrer les équations du mouvement par une méthode numérique quelconque. Malheureusement, si les erreurs d'approximations, inévitables dans ce genre de calcul, sont négligeables sur un bref intervalle de temps, elles deviennent catastrophiques à long terme. Cette incertitude sur la position de la planète n'a rien à voir avec une éventuelle situation chaotique du système (le système à deux corps est d'ailleurs parfaitement intégrable dans tous les sens raisonnables que l'on veut bien donner à ce mot), elle est simplement la conséquence de l'accumulation des erreurs commises par l'ordinateur lors de l'intégration numérique des équations du mouvement. L'existence d'une méthode analytique d'intégration du mouvement est donc capitale pour résoudre convenablement cette question. Si cette remarque est vraie pour le problème à deux corps, elle l'est a fortiori pour le problème à n corps (ie un nombre quelconque de planètes en interactions). Or, comme nous l'avons déjà dit, nous ne connaissons toujours aucune méthode analytique satisfaisante susceptible de résoudre cette question. Lagrange a contourné cette difficulté en appliquant de façon astucieuse la méthode de la variation des constantes, aux problèmes de la mécanique analytique. Décrivons rapidement ce dont il s'agit. Les constantes du mouvement Considérons d'abord un corps matériel (une planète) attiré par un centre fixe (le soleil) selon la loi de la gravitation universelle. Les équations différentielles qui décrivent son mouvement sont de degré deux dans l'espace à trois dimensions, il faudra donc six constantes d'intégrations(1) pour le décrire. D'après Newton, nous savons que la trajectoire de ce corps est une ellipse (2), de foyer le centre d'attraction(3). Pour décrire complètement cette ellipse il nous faut d'abord connaître le plan dans lequel elle s'inscrit (le plan de l'orbite), on peut le repérer par le vecteur unitaire qui lui est orthogonal, ce qui fait deux paramètres. Pour définir l'ellipse dans son plan on peut choisir la position du deuxième foyer, ce qui donne deux nouveaux paramètres, et la longueur (4) de l'ellipse, soit au total: cinq paramètres pour situer et décrire la trajectoire du corps dans l'espace.
Mais si ces cinq paramètres suffisent à définir complètement la trajectoire du corps céleste, ils ne suffisent pas à déterminer son mouvement. En effet, comment déterminer la position de la planète à chaque instant sur sa trajectoire si nous ne connaissons pas sa position à une origine des temps arbitraire? ou encore la date de son passage au périhélie? Voilà comment s'introduit ce sixième paramètre que les astronomes appellent l'époque.
Nous aurions pu tout aussi bien choisir six autres paramètres: par exemple les position et vitesse initiales de la planète à l'origine des temps. Ils définissent aussi, de façon unique, le mouvement de la planète. Seul le caractère pratique de tel ou tel ensemble de paramètres peut déterminer notre choix. Les astronomes appellent ces paramètres, servant à caractériser le mouvement: les éléments képleriens de la planète.
L'ensemble des mouvements de la planète considérés indépendamment du choix des paramètres qui nous servent à les décrire (5) est appelé espace des mouvements képleriens.
La variation des constantes Supposons maintenant que la planète, qui suit un mouvement képlerien m, subisse un choc instantané dû à l'impact d'un astéroïde. Après le choc elle suivra encore un mouvement képlerien m' différent du précédent. Le mouvement (perturbé) de cette planète sera donc décrit par son mouvement m avant le choc, son mouvement m' après le choc et l'instant du choc t. Supposons ensuite que la planète subisse une série de chocs de ce type. Le mouvement réel de la planète sera décrit par une courbe dans l'espace des mouvements képleriens, discontinue et constante par morceaux, chaque morceau de courbe décrivant le mouvement képlerien de la planète entre deux chocs successifs. En étendant ce raisonnement, Lagrange assimile l'interaction des autres planètes du système à une série infinie de chocs infiniment petits et continuels. Il décrit ainsi le mouvement réel de la planète perturbée par une courbe, différentiable, tracée dans l’espace des mouvements képleriens. C'est en précisant l'équation (6) différentielle de cette courbe qu'il a fait apparaître la structure symplectique de l'espace des mouvements.



Perturbation d’un mouvement

Lagrange a donné l'expression des composantes de la forme symplectique de l'espace des mouvements képleriens dans le système de coordonnées que sont les éléments de la planète. Il en a déduit entre autre la stabilité séculaire du grand axe des planètes.
Dans cet article J'ai essayé d'être le plus possible fidèle aux textes de Lagrange, afin de mettre en évidence les idées qui on permis à Lgrange, en voulant résoudre le problème du système des planètes, d'élaborer les premiers éléments de calcul symplectique (pour un point de vue moderne voir Souriau [Sou]).
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Note historique C'est le 22 août 1808 que Lagrange présente à l'Institut de France son Mémoire sur la théorie des variations des éléments des planètes [Lag77a] où sont définis pour la première fois les crochets et parenthèses qui portent son nom et qui sont, en termes modernes, les composantes de la forme symplectique de l'espace des mouvements d'une planète.
Ce mémoire sera suivi de celui Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires [Lag77b] présentée 13 mars 1809, où il généralise sa méthode à tous les problèmes de mécanique. Il en donnera une version notablement simplifiée, et définitive, le 19 février 1810 [Lag77c]. C'est à partir de cette version qu'il écrira les chapitres relatifs à ces questions dans la deuxième édition de son Traité de Mécanique Analytique [Lag65] (seconde partie, de la cinquième à la septième section). Ce volume ne sera publié qu'après sa mort. 
Bibliographie 
[Lag65] J.-L. Lagrange, Mécanique analytique, Librairie Albert Blanchard, Paris, 1965, Fac-similé de la troisième édition
[Lag77a] J.-L. Lagrange, in OEuvres de Lagrange, Sur la théorie des variations des éléments des planètes et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites, Gauthier-Villars, Paris, volume VI, pages 713-768, Lu, le 22 août 1808 à l'Institut de France,1877.
[Lag77b] J.-L. Lagrange, in OEuvres de Lagrange, Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la mécanique, Gauthier-Villars, Paris, volume VI, pages 771-805, Lu, le 13 mars 1809 à l'Institut de France,1877.
[Lag77c] J.-L. Lagrange, in OEuvres de Lagrange, Second mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la mécanique, Gauthier-Villars, Paris, volume VI, pages 809-816. Lu, le 19 février 1810 à l'Institut de France, 1877.
[New], I. Newton, De la gravitation, Gallimard. Suivi d'un commentaire de F. de Gandt, 1995.
[Sou] J.-M. Souriau, La structure symplectique de la écanique décrite par Lagrange en 1811, Math. Sci. hum., numéro 94, pages 45-54, 1986.
Joseph-Louis Lagrange 
(1736 - 1813)http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/%7Ehistory/Mathematicians/Lagrange.htmlshapeimage_10_link_0
généralisation d'un théorème de Laplace, sur la stabilité séculaire du grand axe d'une planète perturbée par l'attraction d'autres corps célestes.