Il faut savoir qu'il existe une mesure, unique à une constante multiplicative près, sur l'espace des droites du plan ou d'un espace affine euclidien quelconque, invariante sous l'action du groupe des déplacements euclidiens. Après avoir fixé la constante multiplicative, la formule de Crofton s’exprime ainsi :
Théorème [Crofton] La mesure de l'ensemble D(C) des droites qui coupent une courbe convexe bornée C est égale à son périmètre.
Il est facile de généraliser cette construction à l'ensemble des droites affines de tous les espaces affines euclidiens. Il existe encore une mesure invariante pour le groupe des déplacements, que l'on peut normaliser pour avoir le théorème suivant:
Théorème [Crofton] La mesure de l'ensemble des droites qui coupent un domaine convexe bornée d'un espace affine euclidien est égale au volume euclidien de son bord.
Les droites du plan sont les géodésiques c'est-à-dire les solutions d'un problème variationnel du second ordre. Or, ces espaces sont naturellement munis d'une structure symplectique w, héritée directement de la nature variationnelle du problème (nous parlons de droites oriéntées). À partir de là on peut munir l'espace des droites d'une forme volume: la forme symplectique elle-même. C'est la mesure de Crofton.
Examinons la structure de cette variété des droites. Dans le cas du plan affine euclidien on peut d'abord remarquer que l'espace des droites est l'espace tangent au cercle S1 (c'est-à-dire le cylindre S1 x R), il suffit de repérer une droite par son vecteur directeur u et le point x, le plus près de l'origine, ainsi que le montre la figure plus haut. Sur l'axe du cylindre on a porté le produit scalaire <n,x>, où n est le vecteur normal à à u (le plan étant orienté).
Si on considère maintenant une courbe convexe C du plan affine, l'ensemble des droites qui le coupent est un domaine D(C) du cylindre, dont le bord est l'ensemble des droites tangentes à C, orientées dans un sens et dans l'autre, comme le montre la figure suivante A propos de géodésiques
(Suite) Figure : repérage des droites du plan Figure : Droites coupant un domaine
En dimension 2, la forme volume (sur l'espace des droites) n'est que la forme symplectique. Elle est exacte, et son intégrale sur l'ensemble des droites qui coupent la courbe C est égale à l'intégrale d'une de ses primitives sur son bord, c'est-à-dire sur deux copies de la courbe C. Or, modulo normalisation, cette primitive est justement la mesure de longueur et son intégrale sur une des composantes du bord est la longueur de la courbe. C'est la nature de la formule de Crofton.
Cette construction se généralise aux espaces de géodésiques des variétés de Hadamard (voir ici...), c'est-à-dire aux espaces riemanniens à courbure négatives complets et simplement connexes. Ces espaces sont difféomorphes, en tant que variétés différentiables, à Rn. Il faut remarquer que l'espace des géodésiques d'un espace de Hadamard est une variété différentiable (comme dans le cas euclidien, difféomorphe au tangent de la sphère de dimension n-1), et qu'elle possède un volume naturel : une puissance de forme symplectique. On peut normaliser ce volume de telle sorte qu'on ait le théorème suivant:
Théorème La mesure de l'ensemble des géodésiques qui coupent un domaine convexe borné d'une variété de Hadamard est égale au volume riemannien de son bord.
Une des motivations pour ce travail était en particulier de montrer de façon claire que la formule de Crofton n'est pas liée à l'existence d'un grand groupe de symétries, comme elle est le plus souvent présentée, mais uniquement à la nature symplectique de la variété des géodésiques. En effete le groupe des isométries d’une variété de Hadamard peut être trivial, il n’empêche que la formule de Crofton est toujours satisfaite. The%20Articles/98261DA9-7401-4111-B9D4-BFF5440246E8.htmlshapeimage_5_link_0